Sifat Dominasi Himpunan – Dalam ilmu matematika terdapat konsep yang dikenal dengan himpunan. Himpunan adalah konsep dasar dalam matematika yang terdiri dari kumpulan objek atau elemen dengan sifat atau karakteristik yang sama.
Pengenalan konsep himpunan dimulai sejak tingkat sekolah dasar untuk membantu dalam pengelompokan objek atau bilangan berdasarkan persamaan sifat tertentu.
Mengutip dari buku “Teori Himpunan” oleh Darwanto dkk, himpunan adalah kumpulan objek atau benda yang didefinisikan secara jelas, di mana setiap anggotanya dapat dibedakan dari yang bukan bagian himpunan tersebut.
Dalam himpunan, setiap objek disebut sebagai anggota atau elemen. Anggota himpunan ditandai dengan “∈”, sementara yang bukan anggota ditandai dengan “∉”, sebagaimana dilansir dari laman CNN Indonesia.
Sifat-Sifat Operasi Himpunan
- Ketertutupan
Sifat ketertutupan pada operasi himpunan mempunyai makna bahwa hasil dari pengoperasian dua atau lebih himpunan menghasilkan satu penyelesaian berupa himpunan.
- Sifat Komutatif
Sifat komutatif pada operasi himpunan hanya berlaku pada operasi irisan dan gabungan, yaitu A ∩ B = B ∩ A dan A ∪ B = B ∪ A.
- Sifat Asosiatif
Sifat asosiatif pada operasi himpunan hanya berlaku pada operasi irisan dan gabungan, yaitu(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) dan (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).
- Sifat Distributif
Sifat distributif pada operasi himpunan hanya berlaku pada operasi irisan dan gabungan, yaituA ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) dan A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
- Sifat Identitas
Sifat identitas yang berlaku pada operasi irisan dan gabungan antara lain:
-
- A ∩ ∅ = ∅
- A ∩ S = A
- A ∪ ∅ = A
- A ∪ S = S
- Idempoten
Sifat idempoten yang berlaku pada operasi irisan dan gabungan antara lain:
-
- A ∩ A
- A ∪ A
- Sifat Komplemen
Sifat komplemen pada operasi himpunan hanya berlaku untuk irisan dan gabungan.
-
- A ∩ Ac = ∅
- A ∪ Ac = S
- (Ac )c = A
- ∅c = S
- Sc = ∅
- Sifat Pengurangan
Operasi pengurangan pada himpunan tidak bersifat komutatif. Oleh karena operasi pengurangan tidak bersifat komutatif, maka tidak bersifat asosiatif maupun identitas yaitu:
-
- A – B ≠ B – A
- A – (B – C ) ≠ (A – B) – C
- A – ∅ ≠ ∅ – A
- Subset
Subset atau himpunan bagian adalah suatu himpunan yang merupakan bagian dari himpunan utama. Subset dinyatakan dengan lambang “⊂” tetapi jika bukan himpunan bagian dilambangkan dengan “⊄”.
Banyaknya anggota himpunan bagian dari K dirumuskan: 2n(K)dengan n(K) merupakan banyaknya anggota himpunan K.
- Absorption
Absorption adalah himpunan-himpunan yang bila dioperasikan akan terserap menjadi suatu himpunan tertentu. Absorption dirumuskan sebagai berikut:
A ∪ (A ∩ B) = A ∩ (A ∪ B) = A
- Penghilangan
Jika A = B, maka A ∩ C = A ∩ B untuk C suatu himpunan.
- Dualitas
Prinsip dualitas berlaku bila kita menukar “∪” dengan “∩”, “S” dengan “∅”, dan sebaliknya. Pernyataan baru tersebut disebut dual dari pernyataan aslinya.
Sifat Dominasi Himpunan Adalah
Himpunan dominasi (Dominating Set) adalah suatu himpunan bagian V ′ dari himpunan titik V (G) dimana titik-titik yang tidak berada pada V ′ terhubung langsung dengan minimal satu titik V′.
Ukuran dari himpunan dominasi terkecil disebut bilangan dominasi. Bilangan dominasi pada graf G dinotasikan dengan γ(G). Operasi graf adalah graf yang merupakan hasil operasi dua buah atau lebih graf sehingga menghasilkan graf baru G′ dengan himpunan titik V (G′) dan himpunan sisi E(G′).
Menurut Rofiah dan Dafik (2014), dalam tesis Landerius Maro, (2017:16) himpunan dominasi (Dominating set) merupakan suatu bagian dari himpunan titik V(G) di mana titik-titik yang tidak berada pada V’ bertetanggaan dengan minimal satu titik di V’ atau secara logika simbolik, sebuah himpunan D.
Kardinilitas terkecil dari himpunan dominasi disebut bilangan dominasi (domination number) yang di notasikan dengan (𝐺).
- Sifat Dominasi Himpunan Yang Terjadi (H2)
Konsep himpunan dominasi pada graf memiliki akar sejarah sejak tahun 1850an ketika penggemar catur Eropa mempelajari masalah ”dominasi ratu”, seperti yang telah dijelaskan pada.
Penggemar ini bekerja untuk menentukan jumlah minimum ratu yang diperlukan sehingga setiap persegi pada papan catur standar 8 × 8 dapat diduduki oleh sebuah ratu atau dapat langsung diserang oleh ratu, dengan kata lain kotak tersebut didominasi oleh sebuah ratu.
Situasi tersebut dapat dimodelkan dengan teori graf. Pada papan catur, kotak adalah titik (V ) dan dua titik terhubung di G jika setiap kotak dapat dicapai oleh ratu pada kotak lain dengan satu langkah.
Jumlah minimum ratu yang memungkinkan untuk tidak bertabrakan dengan ratu lainnya dengan satu langkah adalah bilangan dominasi dari sebuah himpunan dominasi di G.
Selanjutnya studi matematika himpunan dominasi dimulai pada tahun 1960an, dan sejak saat itu, himpunan dominasi digunakan untuk banyak aplikasi yang berbeda, diantaranya untuk memodelkan keterkaitan pada jaringan komunikasi komputer, teori jejaring sosial, dan masalah serupa lainnya.
Penelitian terkait himpunan dominasi berkembang cukup pesat. Penentuan bilangan dominasi pada graf dan penentuan himpunan dominasi minimum terbukti sangat berguna.
Itulah pembahasan mengenai sifat dominasi himpunan. Semoga dapat menambah pengetahuan kita semua materi sifat dominasi himpunan ini, sekian terima kasih.
